2Đman
Tu se radi puno shortcutova pa je razumijevanje tog postupka slabije, ali uglavnom ovako su granice postavljene:
Dakle nakon što se odredi inverzna transformacija y = x + z, zanima nas marginalna gustoća f_Z \left(z\right) slučajnog vektora \left(X, Z\right), što se računa integralom
f_Z \left(z\right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f\left(x, x+z\right) \left|\frac{\partial y}{\partial z}\right| \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{3}{14} \left(x + z\right) \mathrm{d}x
Kako odrediti granice?
Pa ključno je skicirati familiju krivulja inverzne transformacije: y = x + z i kako ona siječe područje D (trapez).
I ovisno o tome što se postavi kao argument z, izdvojena su 4 slučaja.
Prva slika/slučaj: kad je z \leq 4 pravac y = x + z skroz “fula” trapez pa je to u biti računanje onog integrala sa podintegralnom funkcijom 0, dakle i u tim slučajevima je i f_Z \left(z\right) jednak 0.
Druga slika/slučaj: kad je 4 < z \leq -1 (skroz je nebitno gdje je jednakost a gdje nije jer baratamo sa kontinuiranim slučajnim varijablama), tad pravac y = x + z “siječe” trapez prvo kod donje osnovice, pa sve do desnog kraka.
Kako odrediti granice?
Pa donja granica je jednadžba pravca donje osnovica, gornja granica je jednadžba pravca desnog kraka
ALI
Kako se radi o integriranju po varijabli x, granice integracije moraju biti oblika x = ... i na desnoj strani ne smije biti x-eva. I još uz to ne smije se pojaviti y jer se nje pokušavamo riješiti. A nje ćemo se riješiti tako da gdje god vidiš y, zamijeniš ga sa inverznom transformacijom, dakle sa x + z
Donja osnovica: y = 0, ali kao što smo rekli, y zamijeniš sa
x + z stoga imamo da je donja osnovica x + z = 0, a kako želimo oblik x = ... onda je donja granica x = -z. Ofc kod pisanja integrala, ovaj dio x = se izostavlja i na rubovima onog znaka \int pišeš samo izraz s desne strane.
Gornja granica: jednadžba pravca desnog kraka: y = -2(x - 4), riješimo se y pa dobijemo x + z = -2x + 8 i stavimo x na lijevu stranu: 3x = 8 - z odnosno gornja granica je
x = \frac{8 - z}{3}
Pa se radi o integralu
f_Z \left(z\right) = \int_{-z}^{\frac{8 - z}{3}} \frac{3}{14} \left(x + z\right) \mathrm{d}x; \quad \text{za} \, z \in \left(-4, -1\right]
Treća slika/slučaj: kad je z \in \left(-1, 1\right] tada pravac y = x + z siječe trapez prvo kod lijevog kraka, pa onda kod gornje osnovice. Donja granica je lijevi krak sa jednadžbom x = 1 a to nam već paše za integral, a gornja granica je y = 2, odnosno kad se riješimo y dobijemo x + z = 2 i kad prebacimo z na drugu stranu dobijemo gornju granicu x = 2 - z. Gustoća je tada
f_Z \left(z\right) = \int_{1}^{2 - z} \frac{3}{14} \left(x + z\right) \mathrm{d}x; \quad \text{za} \, z \in \left(-1, 1\right]
Četvrta slika/slučaj je ista situacija kao kod prve. Kad se slučajevi objedine i kad se integrali evaluiraju, dobiješ rješenje ko što je napisano.
Ja nikad to nisam volio ovako rješavati, ako te zanima kako bih ja to riješio sa boljim razumijevanjem samo pitaj.
