enaiks
Prvo numerirajmo novčiće: novčić i neka bude onaj čija je vjerojatnost da padne na glavu p_i, odnosno
p_1 = 0.6, \quad p_2 = 0.1 \quad p_3 = 0.3
Skup elementarnih događaja razbijemo na 3 hipoteze:
H_i = \left\{\text{Izvučen je novčić} \; i\right\}, \quad i \in \left\{1, 2, 3\right\}
A priori (prije izvođenja bilo kakvih pokusa), vjerojatnosti ostvarenja tih hipoteza, odnosno, vjerojatnost da je izvučen novčić i, bi logično bila \frac{1}{3} za svaki novčić (jer imamo izvlačenje na sreću iz kutije), odnosno
P\left(H_i\right) = \frac{1}{3} \quad \forall i \in \left\{1, 2, 3\right\}
E sad kada ne bi bilo nikakvih pokusa, morali bi se zadovoljiti sa tim apriornim vjerojatnostima, i tada bi vjerojatnost da padne glava na slučajno izabranom novčiću, po formuli potpune vjerojatnosti, računali sa
P \left(A\right) = \sum_{i = 1}^{3} P \left(H_i\right) P \left(A \mid H_i\right) = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{3} \, p_i
Gdje je događaj A = \left\{\text{slučajno odabran novčić pada na glavu}\right\}, a vjerojatnost P \left(A \mid H_i\right) je zapravo vjerojatnost da novčić padne na glavu ako unaprijed znamo koji novčić je izvučen, što je p_i
Ali, mi smo jednom proveli pokus, odnosno izvukli smo novčić i bacili ga, te je pao na glavu. To saznanje nam zapravo mijenja vjerojatnosti realizacija hipoteza H_i, i to moramo iskoristiti za računanje vjerojatnosti padanja glave u drugom bacanju.
Nove, aposteriorne vjerojatnosti realizacija hipoteza H_i, koje ću sada označavati sa H_i \mid A (jer znamo da se događaj A realizirao), odnosno P \left(H_i \mid A\right), možemo lako računati sa Bayesovom formulom:
P \left(H_i \mid A\right) = \frac{P\left(A \mid H_i\right) P\left(H_i\right)}{P\left(A\right)} = \frac{P\left(A \mid H_i\right) P\left(H_i\right)}{\sum_{j = 1}^{3} P \left(H_j\right) P \left(A \mid H_j\right)} = \frac{\frac{1}{3} \, p_i}{\sum_{j = 1}^{3} \frac{1}{3} p_j} = \frac{p_i}{\sum_{j = 1}^{3} p_j}\quad \forall i \in \left\{1, 2, 3\right\}
Slučajno se poklopilo da je \sum_{j = 1}^{3} p_j = 0.6 + 0.1 + 0.3 = 1 (vjerojatnosti padanja glave za svaki novčić su mogli biti bilo kakvi između 0 i 1). Također, za sumu sam koristio indeks j jer već je iskorišten i u raspisivanju formule. Kada izračunamo redom te aposteriorne vjerojatnosti, dobijemo
P \left(H_1 \mid A\right) = 0.6 \newline
P \left(H_2 \mid A\right) = 0.1 \newline
P \left(H_3 \mid A\right) = 0.3
Što to znači? Pa, prije pokusa smo mislili da su vjerojatnosti izvlačenja nekog novčića bile iste za sve novčiće, odnosno \frac{1}{3}, ali sad kad smo izvukli novčić, bacili ga i vidjeli da je pala glava, te vjerojatnosti su se promijenile. I sad mislimo da je vjerojatnost izvlačenja (odnosno preciznije rečeno: da smo izvukli novčić, jer da primjerice onaj novčić iz prvog bacanja vratimo u kutiju i opet ponovimo pokus, vjerojatnosti bi se opet vratile na \frac{1}{3}) prvog novčića 0.6, drugog novčića 0.1 i trećeg novčića 0.3. Igrom slučaja je ispalo da te vjerojatnosti odgovaraju vjerojatnostima padanja glave za svaki novčić, no te brojke su mogle ispasti bilo kakve.
I sada kada imamo novi uvid, odnosno kada imamo aposteriorne vjerojatnosti P\left(H_i \mid A\right), to možemo iskoristiti da bismo računali vjerojatnost događaja B = \left\{\text{U drugom bacanju novčića iz događaja A pada glava}\right\}. To ćemo učiniti opet sa formulom potpune vjerojatnosti kao što smo računali vjerojatnost P \left(A\right) = \sum_{i = 1}^{3} P \left(H_i\right) P \left(A \mid H_i\right), ali sad umjesto apriornih vjerojatnosti P \left(H_i\right) ćemo iskoristiti aposteriorne vjerojatnosti P \left(H_i \mid A\right), a drugi faktor u sumi će opet biti vjerojatnost padanja glave za svaki novčić, jer to se nije promijenilo (nema veze to što znamo da je u prvom bacanju pala glava, za svaki novčić vjerojatnosti ostaju kakve su i bile).
P \left(B\right) = \sum_{i = 1}^{3} P \left(H_i \mid A\right) \cdot p_i = 0.6^2 + 0.1^2 + 0.3^2 = 0.46
