light_grandma
Imaš identičan zadatak riješen u nekoliko redaka u Elezovićevom udžbeniku ViS Slučajne varijable na stranici 103.
Ja se takvog načina nikada ne bih sjetio, stoga sam odlučio detaljnije objasniti pristup kojim bih ja riješio taj zadatak.
Znamo da je X slučajna varijabla sa jediničnom normalnom razdiobom, odnosno
X \sim \mathscr{N} \left(0, 1\right)
i tada odmah automatski znamo kako izgleda njena funkcija gustoće f_X \left(x\right):
f_X \left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2} \quad \text{za} \ x \in \R
Nas zanima kakvu razdiobu ima slučajna varijabla Y = X^2, odnosno znamo da je gama razdioba, ali idemo to pokazati i uz to odrediti njene parametre.
U tu svrhu računat ćemo funkciju gustoće f_Y \left(y\right) koristeći formulu 5.1 na stranici 17 Elezovićevog udžbenika ViS Slučajne varijable. Kako koristiti tu formulu?
Dakle ta formula nam kaže ako znaš funkciju gustoće varijable X, kako računati funkciju gustoće f_Y \left(y\right)njene funkcijske transformacije Y = \Psi \left(X\right) (u našem slučaju to je obični kvadrat, \Psi \left(X\right) = X^2).
Za početak, formula zahtjeva da je transformacija \Psi injekcija (kasnije ću to zvati bijekcijom, surjekciju ću podrazumijevati). Već tu imamo problem, transformacija Y = X^2 nije bijekcija za sve realne X koje nam naša jedinična normalna slučajna može poprimiti. Stoga ćemo našu kvadratnu transformaciju podijeliti na dva bijektivna dijela: onda kad je X > 0 u prvom dijelu i onda kad je X < 0 u drugom dijelu. Razlog zašto je to bitno jest činjenica da se u ovoj formuli i cijelom postupku koristi inverz transformacije \Psi, odnosno \Psi ^{-1}, a inverz ne može postojati ako transformacija nije bijekcija. Dva slučaja znači da ćemo dobiti dvije funkcije gustoće od Y, f_{Y,1} \left(y\right) i f_{Y,2} \left(y\right) koje ćemo zbrojiti u područjima u kojima se preklapaju, bit će pojašnjeno kasnije.
Prvi dio: transformacija Y = X^2, \quad X > 0. Nađimo inverznu transformaciju (dakle transformacija oblika X = ...) jednostavnim korijenovanjem:
|X| = X =\sqrt{Y}, jer gledamo za X > 0 za apsolutnu vrijednost mogu samo maknuti
(sad ću prijeći na mala slova x i y)
Odredimo kud se transformacijom sve moguće vrijednosti x > 0 preslikaju u vrijednosti od y: \sqrt{y} > 0, odnosno
y > 0
Dalje, odredimo apsolutnu vrijednost derivaciju inverzne transformacije (u formuli apsolutna vrijednost \left|\frac{\mathrm{d} \Psi^{-1} (y)}{\mathrm{d}y}\right|, odnosno \left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y}\right|)
U našem slučaju imamo
x = \sqrt{y}
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right) = \frac{1}{2 \sqrt{y}}
\left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right)\right| = \left|\frac{1}{2 \sqrt{y}}\right|
= \frac{1}{2 \sqrt{y}}
I onda napokon primijenimo danu formulu u knjizi (u funkciji gustoće od X, odnosno f_X \left(x\right) kao argument uvrstimo inverznu transformaciju):
f_{Y, 1} \left(y\right) = f_X \left(\sqrt{y}\right) \left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right)\right|
f_{Y, 2} \left(y\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\sqrt{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}}
= \frac{1}{2\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{1}{2}y} \qquad \text{za} \ y > 0
Sad napravimo isti postupak sa drugim bijektivnim dijelom naše transformacije:
Y = X^2, \quad X < 0
Inverzna transformacija (|X| sada pak prelazi u -X jer je X < 0):
|X| = -X = \sqrt{Y} \newline
X = -\sqrt{Y}
Preslikavanje područja (kao i u prethodnom slučaju ispadne y > 0 pa će doći do preklapanja):
x < 0 \newline
-\sqrt{y} < 0 \newline
\sqrt{y} > 0 \newline
y > 0
Apsolutna vrijednost derivacije inverza:
\left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right)\right| = \left|-\frac{1}{2 \sqrt{y}}\right|
= \frac{1}{2 \sqrt{y}}
Te funkcija gustoće:
f_{Y, 2} \left(y\right) = f_X \left(-\sqrt{y}\right) \left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right)\right|
= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(-\sqrt{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}}
= \frac{1}{2\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{1}{2}y} \qquad \text{za} \ y > 0
I sad gledamo preklapaju li se područja definicija funkcija f_{Y, 1} \left(y\right) i f_{Y, 2} \left(y\right)?
Odgovor je: da, u potpunosti kod y > 0. Onda ćemo ih u tom slučaju jednostavno zbrojiti (u općenitom slučaju zbrajamo dijelove funkcija koje se preklapaju):
f_Y \left(y\right) = f_{Y, 1} \left(y\right) + f_{Y, 2} \left(y\right)
Kako su identične u oba slučaja, efektivno množimo sa 2. Dodatan primjer takvog “zbrajanja” gustoći imate na primjeru 5.11 na stranici broj 18 u već spomenutom Elezovićevom udžbeniku. Naravno, nemojmo zaboraviti naš good old “0 inače” kojeg uvijek stavljam radi potpunosti definicije funkcije nad svim realnim brojevima.
f_Y \left(y\right) =
\begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{1}{2}y} & \text{za} \ y > 0 \\
0 & \text{inače}
\end{cases}
Dobro, našli smo funkciju gustoće od Y, no sad je pitanje, je li ona uistinu ima gama razdiobu, odnosno je li
Y \sim \mathscr{G} \left(\alpha, \lambda\right) ?
U zadatku nam je dano i kako izgleda funkcija gustoće gama razdiobe (ja ću ju označiti sa f_{\mathscr{G} \left(\alpha, \lambda\right)} \left(y\right)) s parametrima \alpha > 0,\ \lambda > 0 (kao argument sam stavio slovo y umjesto x radi boljeg uočavanja sličnosti sa funkcijom koju smo prethodno računali):
f_{\mathscr{G} \left(\alpha, \lambda\right)} \left(y\right)
= \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma \left(\alpha\right)} y^{\alpha - 1} e^{-\lambda y} \qquad \text{za} \ y > 0
Gdje je \Gamma \left(\alpha\right) gama funkcija definirana kao
\Gamma \left(\alpha\right) = \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} \mathrm{d}x \qquad \text{za} \ \alpha > 0
Sad usporedimo strukturu naše funkcije gustoće f_{Y} \left(y\right) sa strukturom funkcije gustoće gama razdiobe f_{\mathscr{G} \left(\alpha, \lambda\right)} \left(y\right).
Gledajući eksponente potencija broja e možemo naslutiti da je \lambda = \frac{1}{2}, a ako pogledamo potenciju sa bazom y možemo naslutiti da je \alpha - 1 = -\frac{1}{2}, odnosno da je \alpha = \frac{1}{2}. Da bismo to potvrdili, moramo gledati konstantni faktor. Ako parametri \alpha i \lambda stvarno jesu jednaki \frac{1}{2}, tada bi se taj konstantni faktor u našoj funkciji gustoće morao moći preurediti da u brojniku piše \frac{1}{\sqrt{2}} što je \lambda^{\alpha}, a u nazivniku \sqrt{\pi}, odnosno \Gamma \left(\frac{1}{2}\right), što je \Gamma \left(\alpha\right).
Sad moraš biti bog i batina da se sjetiš nekih svojstva gama funkcije i činjenice da vrijedi \Gamma \left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. To se izračuna integralom iz definicije gama funkcije pomoću ingeniozne supstitucije, pogledaj na stranici 100 u udžbeniku za više informacija o gama funkciji.
Zaista, naš konstantni faktor se može tako preurediti:
f_Y \left(y\right) =
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{1}{2}y}
= \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\pi}} y^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2}y} \qquad \text{za} \ y > 0
I ovime smo pokazali da naša slučajna varijabla Y stvarno ima gama razdiobu sa parametrima \alpha = \lambda = \frac{1}{2}, odnosno Y \sim \mathscr{G} \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).
