Studoši

jel zna netko kako se mijenjaju parametri razdiobe u ovom i sličnim slučajevima? njihova rješenja su a) 0.7585 i b) 0.955. (ljir 2018.) ništa slično nisam našao ni u burićevim predavanjima ni u knjižicama. dobijam neka približna rješenja pa nisam siguran gdje griješim

caca
evo ako ti pomaže

zna li netko mozda ovo

light_grandma

Imaš identičan zadatak riješen u nekoliko redaka u Elezovićevom udžbeniku ViS Slučajne varijable na stranici 103.
Ja se takvog načina nikada ne bih sjetio, stoga sam odlučio detaljnije objasniti pristup kojim bih ja riješio taj zadatak.

Znamo da je X slučajna varijabla sa jediničnom normalnom razdiobom, odnosno
X \sim \mathscr{N} \left(0, 1\right)
i tada odmah automatski znamo kako izgleda njena funkcija gustoće f_X \left(x\right):
f_X \left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2} \quad \text{za} \ x \in \R
Nas zanima kakvu razdiobu ima slučajna varijabla Y = X^2, odnosno znamo da je gama razdioba, ali idemo to pokazati i uz to odrediti njene parametre.
U tu svrhu računat ćemo funkciju gustoće f_Y \left(y\right) koristeći formulu 5.1 na stranici 17 Elezovićevog udžbenika ViS Slučajne varijable. Kako koristiti tu formulu?
Dakle ta formula nam kaže ako znaš funkciju gustoće varijable X, kako računati funkciju gustoće f_Y \left(y\right)njene funkcijske transformacije Y = \Psi \left(X\right) (u našem slučaju to je obični kvadrat, \Psi \left(X\right) = X^2).

Za početak, formula zahtjeva da je transformacija \Psi injekcija (kasnije ću to zvati bijekcijom, surjekciju ću podrazumijevati). Već tu imamo problem, transformacija Y = X^2 nije bijekcija za sve realne X koje nam naša jedinična normalna slučajna može poprimiti. Stoga ćemo našu kvadratnu transformaciju podijeliti na dva bijektivna dijela: onda kad je X > 0 u prvom dijelu i onda kad je X < 0 u drugom dijelu. Razlog zašto je to bitno jest činjenica da se u ovoj formuli i cijelom postupku koristi inverz transformacije \Psi, odnosno \Psi ^{-1}, a inverz ne može postojati ako transformacija nije bijekcija. Dva slučaja znači da ćemo dobiti dvije funkcije gustoće od Y, f_{Y,1} \left(y\right) i f_{Y,2} \left(y\right) koje ćemo zbrojiti u područjima u kojima se preklapaju, bit će pojašnjeno kasnije.

Prvi dio: transformacija Y = X^2, \quad X > 0. Nađimo inverznu transformaciju (dakle transformacija oblika X = ...) jednostavnim korijenovanjem:
|X| = X =\sqrt{Y}, jer gledamo za X > 0 za apsolutnu vrijednost mogu samo maknuti
(sad ću prijeći na mala slova x i y)
Odredimo kud se transformacijom sve moguće vrijednosti x > 0 preslikaju u vrijednosti od y: \sqrt{y} > 0, odnosno
y > 0
Dalje, odredimo apsolutnu vrijednost derivaciju inverzne transformacije (u formuli apsolutna vrijednost \left|\frac{\mathrm{d} \Psi^{-1} (y)}{\mathrm{d}y}\right|, odnosno \left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y}\right|)
U našem slučaju imamo
x = \sqrt{y}
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right) = \frac{1}{2 \sqrt{y}}
\left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right)\right| = \left|\frac{1}{2 \sqrt{y}}\right| = \frac{1}{2 \sqrt{y}}

I onda napokon primijenimo danu formulu u knjizi (u funkciji gustoće od X, odnosno f_X \left(x\right) kao argument uvrstimo inverznu transformaciju):
f_{Y, 1} \left(y\right) = f_X \left(\sqrt{y}\right) \left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right)\right|
f_{Y, 2} \left(y\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\sqrt{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}} = \frac{1}{2\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{1}{2}y} \qquad \text{za} \ y > 0

Sad napravimo isti postupak sa drugim bijektivnim dijelom naše transformacije:
Y = X^2, \quad X < 0
Inverzna transformacija (|X| sada pak prelazi u -X jer je X < 0):
|X| = -X = \sqrt{Y} \newline X = -\sqrt{Y}
Preslikavanje područja (kao i u prethodnom slučaju ispadne y > 0 pa će doći do preklapanja):
x < 0 \newline -\sqrt{y} < 0 \newline \sqrt{y} > 0 \newline y > 0
Apsolutna vrijednost derivacije inverza:
\left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right)\right| = \left|-\frac{1}{2 \sqrt{y}}\right| = \frac{1}{2 \sqrt{y}}
Te funkcija gustoće:
f_{Y, 2} \left(y\right) = f_X \left(-\sqrt{y}\right) \left|\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}y} \left(y\right)\right| = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(-\sqrt{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}} = \frac{1}{2\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{1}{2}y} \qquad \text{za} \ y > 0

I sad gledamo preklapaju li se područja definicija funkcija f_{Y, 1} \left(y\right) i f_{Y, 2} \left(y\right)?
Odgovor je: da, u potpunosti kod y > 0. Onda ćemo ih u tom slučaju jednostavno zbrojiti (u općenitom slučaju zbrajamo dijelove funkcija koje se preklapaju):
f_Y \left(y\right) = f_{Y, 1} \left(y\right) + f_{Y, 2} \left(y\right)
Kako su identične u oba slučaja, efektivno množimo sa 2. Dodatan primjer takvog “zbrajanja” gustoći imate na primjeru 5.11 na stranici broj 18 u već spomenutom Elezovićevom udžbeniku. Naravno, nemojmo zaboraviti naš good old “0 inače” kojeg uvijek stavljam radi potpunosti definicije funkcije nad svim realnim brojevima.

f_Y \left(y\right) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{1}{2}y} & \text{za} \ y > 0 \\ 0 & \text{inače} \end{cases}

Dobro, našli smo funkciju gustoće od Y, no sad je pitanje, je li ona uistinu ima gama razdiobu, odnosno je li
Y \sim \mathscr{G} \left(\alpha, \lambda\right) ?
U zadatku nam je dano i kako izgleda funkcija gustoće gama razdiobe (ja ću ju označiti sa f_{\mathscr{G} \left(\alpha, \lambda\right)} \left(y\right)) s parametrima \alpha > 0,\ \lambda > 0 (kao argument sam stavio slovo y umjesto x radi boljeg uočavanja sličnosti sa funkcijom koju smo prethodno računali):
f_{\mathscr{G} \left(\alpha, \lambda\right)} \left(y\right) = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma \left(\alpha\right)} y^{\alpha - 1} e^{-\lambda y} \qquad \text{za} \ y > 0
Gdje je \Gamma \left(\alpha\right) gama funkcija definirana kao
\Gamma \left(\alpha\right) = \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} \mathrm{d}x \qquad \text{za} \ \alpha > 0
Sad usporedimo strukturu naše funkcije gustoće f_{Y} \left(y\right) sa strukturom funkcije gustoće gama razdiobe f_{\mathscr{G} \left(\alpha, \lambda\right)} \left(y\right).
Gledajući eksponente potencija broja e možemo naslutiti da je \lambda = \frac{1}{2}, a ako pogledamo potenciju sa bazom y možemo naslutiti da je \alpha - 1 = -\frac{1}{2}, odnosno da je \alpha = \frac{1}{2}. Da bismo to potvrdili, moramo gledati konstantni faktor. Ako parametri \alpha i \lambda stvarno jesu jednaki \frac{1}{2}, tada bi se taj konstantni faktor u našoj funkciji gustoće morao moći preurediti da u brojniku piše \frac{1}{\sqrt{2}} što je \lambda^{\alpha}, a u nazivniku \sqrt{\pi}, odnosno \Gamma \left(\frac{1}{2}\right), što je \Gamma \left(\alpha\right).
Sad moraš biti bog i batina da se sjetiš nekih svojstva gama funkcije i činjenice da vrijedi \Gamma \left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. To se izračuna integralom iz definicije gama funkcije pomoću ingeniozne supstitucije, pogledaj na stranici 100 u udžbeniku za više informacija o gama funkciji.

Zaista, naš konstantni faktor se može tako preurediti:
f_Y \left(y\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{1}{2}y} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\pi}} y^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2}y} \qquad \text{za} \ y > 0

I ovime smo pokazali da naša slučajna varijabla Y stvarno ima gama razdiobu sa parametrima \alpha = \lambda = \frac{1}{2}, odnosno Y \sim \mathscr{G} \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).

Ima li tko rijesene ispite proslih godina pa da slika i stavi u 1 file i uploada ovdje…bio bih jako zahvalan 🙂

Kako ovdje dobit f(x,y). Oke znam da je jedinična ali sta uzmem za interval b-a? Koliko mogu iz rjesenja iscitat njima je f(x,y) = ⅑

Kuhar Općenito, za bilokoju dimenziju slučajnog vektora (znači u tvom primjeru radi se od slučajnom vektoru \left(X, Y\right) sa 2 komponente X i Y, a ovo što ću ti ja sad reći vrijedi za slučajne vektore \overrightarrow{X} = \left(X_1, X_2, ..., X_n\right) sa proizvoljno mnogo komponenata), ako taj slučajni vektor ima jednoliku razdiobu na području G, tada funkcija gustoće f_{\overrightarrow{X}} \left(\overrightarrow{x}\right) izgleda ovako (ovaj zapis \overrightarrow{x} promatraj kao višedimenzionalnu točku \left(x_1, x_2, ..., x_n\right), stavio sam tako samo radi kompaktnijeg zapisa):

f_{\overrightarrow{X}} \left(\overrightarrow{x}\right) = \begin{cases} \frac{1}{\operatorname{m} (G)} & \text{za} \ \overrightarrow{x} \in G \\ 0 & \text{za} \ \overrightarrow{x} \notin G \end{cases}

Gdje je \operatorname{m} (G) mjera područja G. U slučaju jedne dimenzije to je duljina (i to ti je ono b - a na što si mislio, to je duljina područja (intervala) kod jednodimenzionalne uniformno distribuirane slučajne varijable X \sim \mathscr{U} \left(a, b\right), pa zato gustoća u tom intervalu je \frac{1}{b - a}), u slučaju dvije dimenzije to je površina, a u slučaju 3 dimenzije to je volumen.
Kako ti imaš dvodimenzionalni slučajni vektor, ti moraš računati površinu. I kod tebe je područje čiju površinu računaš (famozno područje G) omeđeno krivuljama y^2 = 4x i y = 2x - 4. Kad skiciraš te krivulje lako računaš površinu, ili matan1 style jednostrukim integralom ili matan2 style dvostrukim integralom sa podintegralnom funkcijom 1 i proper granicama.
Ja preferiram dvostruki, i ovdje se može bez rastavljanja ako izabereš poredak po y pa onda po x. Ako ti nije jasno kako sam došao do tih granica, reci.
\operatorname{m} \left(G\right) = \int_{-2}^{4}\mathrm{d}y \int_{\frac{1}{4}y^2}^{\frac{1}{2}y+2} \mathrm{d}x = ... = 9
Prema tome, tvoja funkcija gustoće f_{\left(X,Y\right)} \left(x, y\right) slučajnog vektora izgleda ovako:
f_{\left(X,Y\right)} \left(x, y\right) = \begin{cases} \frac{1}{9} & \text{za} \ \left(x, y\right) \in G \\ 0 & \text{za} \ \left(x, y\right) \notin G \end{cases}

Kuhar Ovo bih ti rado pomogao da sam to testiranje hipoteza actually naučio

Jel njima ovo rjesenje skroz krivo ili ja zujim? Cini mi se ko da su i kvantil krivo ocitali? ZI-18.

Kuhar
očito si negdje fulao

tomekbeli420
Hvala puno legenda si

koji kurac je vlakic na svakom grafu s buricevih predavanja za slucajne vektore

Ekipa ikakva očekivanja za sutra, malo nas je prijavilo pa sam čuo da bi ga mogli zapapriti?

Mrnjotaur Ljetni i zimski rok su bili gadni tak da se nadam da ce se malo smilovati ovog puta, mozda ubace i statistiku 😅

light_grandma
Alfa * 2 jer su u pitanju dvije populacije?

Ne, zato što smo kao H1 gledali jednostranu alternativu (objašnjeno u knjizi), i vidiš da je u tablici za studentovu razdiobu 1-alfa/2, a u našem broju kojega moramo odrediti iz tablice je samo 1 - alfa, te alfu koju imamo moramo pomnožit s 2 kako bi se poklopilo s našom vrijednosti koju trebamo. To uvijek radiš kod jednostranih za studentovu razdiobu, a kod dvostranih ništa ne množiš

jel zna netko kada mozemo ocekivati rezultate?

caca mislim da je krajnji rok 3.9. jer 4.9. ističu prijave za dodatni jesenski rok. Mislim da će ipak doć ranije

Evo jedan, po meni, koristan link za učenje, snimljeni video materijali sa pmf-a za njihov vis, nema puno videa ali može se dobiti neka logika iza najtipičnijih zadataka iz svih poglavlja. P.S. Nemojte da vas uplaši fantastični dizajn - https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vis/

@Pineo zna li se kada će rezultati dodatnog JIR-a biti uneseni?

niknik samo napomena: to nije dodatni JIR, “dodatni JIR” odn. 3. rok tek će se pisati, a ovo je bio “regularni” JIR;