Erpeg
Ista stvar dobivena na drugi način, svejedno koji način ćeš iskoristiti (nevezano za zadatak).
Prvi način je korištenjem funkcije gustoće. Naime, znamo da eksponencijalna slučajna varijabla X \sim \mathscr{E} \left(\lambda\right) ima funkciju gustoće f_{X}\left(x\right) = \lambda e^{-\lambda x}
Recimo za neki poznati broj a \geq 0, kako računati vjerojatnost P \left(X > a\right) ?
Sa funkcijom gustoće to se računa njenim integriranjem:
P \left(X > a\right) = \int_{a}^{+\infty} f_{X} \left(x\right) \mathrm{d}x \\
P \left(X > a\right) = \int_{a}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x} \mathrm{d}x
Uvođenjem supstitucije u = e^{-\lambda x} \quad \mathrm{d}u = -\lambda e^{-\lambda x} \mathrm{d}x gornji integral se svodi na
P \left(X > a\right) = \int_{e^{-\lambda a}}^{0} - \mathrm{d}u = - u \biggr|_{e^{-\lambda a}}^{0} \\
P \left(X > a\right) = e^{-\lambda a}
Drugi način je korištenjem funkcije distribucije F_{X} \left(x\right), a za eksponencijalnu slučajnu varijablu znamo da je F_{X} \left(x\right) = 1 - e^{-\lambda x} (što se izvede sličnim integralom jer je funkcija gustoće derivacija funkcije distribucije).
Po definiciji funkcije distribucije vrijedi:
P \left(X < a\right) = F_{X} \left(a\right) \\
1 - P \left(X > a\right) = F_{X} \left(a\right) \\
P \left(X > a\right) = 1 - F_{X} \left(a\right) = 1 - \left(1 - e^{-\lambda a}\right) \\
P \left(X > a\right) = e^{-\lambda a}
Tak da ti je svejedno kako ćeš računati takve vjetojatnosti.
