𝐓𝐇𝐄 𝐒𝐄𝐂𝐑𝐄𝐓 - 𝐂𝐋𝐔𝐁
(a) Neka je X slučajna varijabla koja nam govori koliko smo igara odigrali igri prestali igrati. P(X=n) = 0 za n =1,2,3,4 jer ćemo sigurno odigrati barem pet igara. Za n \geq 5, znači da smo od 5. do n - 1 igre pobjeđivati s vjerojatnošću p i da ćemo n-toj izgubiti s vjerojatnošću 1-p , pa vrijedi:
P(X = n) = p^{n-5}(1-p),\ \ n \geq 5
I sad računamo očekivanje po definiciji:
E[X] = \sum_{n=1}^\infty n P(X=n) = \sum_{n=5}^\infty np^{n-5}(1-p) = (1-p) \sum_{n=0}^\infty(n + 5) p^n
= (1-p) \sum_{n=0}^\infty n p^n + 5(1-p) \sum_{n=0}^\infty p^n
Ako je p = 1 onda gore uopće nije definirano očekivanje (tj. ono je beskonačno jer nikad nećemo izgubiti, ne znam jel tad X uopće slučajna varijabla da budem iskren), pa pretpostavimo dalje p \in [0,1)
Općenito imamo:
\frac{1}{1-p} = \sum_{n=0}^\infty p^n
Pa kad to deriviramo i pomnožimo s p dobijemo:
\frac{p}{(1-p)^2} = \sum_{n=0}^\infty np^n
To uvrstimo gore i dobijemo:
E[X] = (1-p) \cdot \frac{p}{(1-p)^2} + 5(1-p)\cdot \frac{1}{1-p} = 5 + \frac{p}{1-p} = \frac{5 - 4p}{1-p}
(b) Ovdje ćemo malo promijenti pristup, imat ćemo dvije slučajne varijable X koja nam govori koliko smo puta izgubili u prva 4 bacanja (koja uvijek provodimo) i Y koja govori koliko ćemo puta izgubiti od 5. bacanja nadalje. Slučajna varijabla koja nam govori koliko ćemo puta izgubiti ukupno je suma te dvije Z = X + Y .
Odredimo očekivanje od X, primijetimo da je to binomna razdioba s parametrima 4 i 1-p , i znamo da je njeno očekivanje n(1-p) = 4(1-p) (primijetimo, ovdje je naš parametar binomne 1-p, a ne p, jer kao uspješan pokus računamo kad izgubimo igru jer tražimo broj gubitaka).
Sad odredimo očekivanje od Y preko njegove razdiobe. Primijetimo da Y poprima samo vrijednosti 0 ili 1 (jer čim jednom izgubimo počevi od 5. bacanja igra staje). Da dobijemo nula gubitaka moramo u svakom bacanju nakon petog dobiti, a to je jednako:
P(Y=0) = \lim_{n \to \infty}p^n =
\begin{cases}
0, & p \in [0,1) \\
1, & p = 1
\end{cases}
I vjerojatnost da imamo jedan gubitak je:
P(Y=1) = 1 - P(Y=0) =
\begin{cases}
1, & p \in [0,1) \\
0, & p = 1
\end{cases}
Pa je očekivanje od Y
E[Y] = 0\cdot P(Y=0) + 1 \cdot P(Y=1) = P(Y=1) =
\begin{cases}
1, & p \in [0,1) \\
0, & p = 1
\end{cases}
I ukupno očekivanje od Z je:
E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] =
\begin{cases}
4(1-p) + 1 = 5 - 4p, & p \in [0, 1)\\
5(1-1) + 0 = 0, & p = 1
\end{cases}
E sad ja sam ovdje uzimao u obzir ovaj patološki slučaj kad je p=1, ali vidim da u rješenju to ne gledaju (jer realno nije ni bitno).
EDIT: Imam grešku u (b), ispravit ću to, Ispravljeno
